Question

В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит его противолежащий катет на отрезки длинной 5 см и 13 см. Найдите периметр этого треугольника.

Answer 1

Введем обозначения:
a,b - катеты, с - гипотенуза
Также вспомним свойство биссектрисы:
Биссектриса треугольника делит сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам, т.е:
$\frac{a}{5}= \frac{c}{13}$
$c= \frac{13a}{5}$
$b = 5+13=18$
Воспользуемся т. Пифагора:
$( \frac{13a}{5})^2=18^2+a^2$
$\frac{169a^2}{25}-a^2= 18^2$
$\frac{144a^2}{25}= 324$
сокращаем на 36
 $\frac{4a^2}{25}=9$
$4a^2=25*9$
$4a^2=225$
$a^2=56.25$
$a=7.5$
$c= \frac{13*7.5}{5}=19.5$
Мы нашли все стороны
$P=19.5+7.5+18=45$