Question

Определите максимум функции

Answer 1

Найдем производную:
$y'=(x^2e^{-x})'=2xe^{-x}-x^2e^{-x}=x(2-x)e^{-x}$
y'=0 при x=0 и x=2
при этом:
$y'\ \textless \ 0\Rightarrow x(2-x)e^{-x}\ \textless \ 0\Rightarrow x(x-2)\ \textgreater \ 0\Rightarrow x\in(-\infty;0)\cup(2;+\infty)\\ y'\ \textgreater \ 0\Rightarrow x(2-x)e^{-x}\ \textgreater \ 0\Rightarrow x(x-2)\ \textless \ 0\Rightarrow x\in(0;2)$
Значит x=0 - точка минимума, x=2 - точка максимума.
Значение функции в точке максимума:
$y(2)=4e^{-2}$