Question

Помогите решить, это высшая алгебра, кто знает, распишите как

Answer 1

1. проверяем для n=1
1²/(1*3) = 1/3
n(n+1)/2(2n+1)= 1*(1+1)/2*(2+1) = 1/3
1/3=1/3 выполняется
2. пусть выполняется для n
3. докажем что выполняется для n+1
1²/1*3 + 2²/3*5 +... + n²/(2n-1)(2n+1) + (n+1)²/(2n+1)(2n+3) =
=(n+1)(n+2)/ 2(2n+3)
 1²/1*3 + 2²/3*5 +... + n²/(2n-1)(2n+1) = n(n+1)/2(2n+1)
 n(n+1)/2(2n+1) +  (n+1)²/(2n+1)(2n+3) = [n(n+1)(2n+3) + 2(n+1)²]/2(2n+1)(2n+3) = [ (n+1)*(2n²+3n + 2n + 2)]/ 2(2n+1)(2n+3) = [ (n+1)(2n²+5n+2)] / 2(2n+1)(2n+3)=
============================================
разложим 2n²+5n+2 =2(n+2)(n+1/2)=(n+2)(2n+1)
D=25-4*4=9
n12=(-5+-3)/4= -2 -1/2
============================================
=[ (n+1)(n+2)(2n+1))] / 2(2n+1)(2n+3)= (n+1)(n+2)/2(2n+3) доказали