Question

Вычислить интеграл e^3x cos^2 * x dx
Распишите поподробнее, если возможно.

Answer 1

Вот как вижу так и решаю.
$int e^{3x}cos^2xdx=frac{1}{3}e^{3x}cos^2x+frac{1}{3}int e^{3x}sin2xdx=\=frac{1}{3}e^{3x}cos^2x+frac{1}{9}e^{3x}sin2x-frac{4}{9}int e^{3x}cos^2xdx+frac{2}{27}e^{3x}\\frac{13}{9}int e^{3x}cos^2xdx=frac{1}{3}e^{3x}cos^2x+frac{1}{9}e^{3x}sin2x+frac{2}{27}e^{3x}\\int e^{3x}cos^2xdx=frac{3}{13}e^{3x}cos^2x+frac{1}{13}e^{3x}sin2x+frac{2}{39}e^{3x}+C\\u=cos^2x= textgreater du=-sin2xdx\dv=e^{3x}dx= textgreater v=frac{1}{3}e^{3x}$
$int e^{3x}sin2xdx=frac{1}{3}e^{3x}sin2x-frac{4}{3}int e^{3x}cos^2xdx+frac{2}{3}int e^{3x}dx=\=frac{1}{3}e^{3x}sin2x-frac{4}{3}int e^{3x}cos^2xdx+frac{2}{9}e^{3x}\u=sin2x= textgreater du=(4cos^2x-2)dx\dv=e^{3x}dx= textgreater v=frac{1}{3}e^{3x}$

$(frac{3}{13}e^{3x}cos^2x+frac{1}{13}e^{3x}sin2x+frac{2}{39}e^{3x}+C)'=\=frac{3}{13}(3e^{3x}cos^2x-e^{3x}sin2x)+frac{1}{13}(3e^{3x}sin2x+4e^{3x}cos^2x-2e^{3x})+\+frac{2}{13}e^{3x}=frac{9}{13}e^{3x}cos^2x-frac{3}{13}e^{3x}sin2x+frac{3}{13}e^{3x}sin2x+frac{4}{13}e^{3x}cos^2x-\-frac{2}{13}e^{3x}+frac{2}{13}e^{3x}=e^{3x}cos^2x$