Question

Найти экстремум заданной функции:
z=x^2-3xy-y^2-4x-6y+5

Answer 1

Необходимое условие экстремума: обе производных по переменным должны быть равны 0.
{ dz/dx = 2x - 3y - 4 = 0
{ dz/dy = -3x - 2y - 6 = 0
2 уравнение умножаем на -1
{ 2x - 3y - 4 = 0
{ 3x + 2y + 6 = 0
Умножаем 1 уравнение на 2, а 2 уравнение на 3
{ 4x - 6y - 8 = 0
{ 9x + 6y + 18 = 0
Складываем уравнения
13x + 10 = 0
x = -10/13
y = (2x - 4)/3 = (-20/13 - 4)/3 = (-20 - 52)/39 = -72/39 = -24/13
z(-10/13; -24/13) = 100/169 - 3*10*24/169 - 576/169 + 40/13 + 144/13 + 5 =
= (100 - 720 - 576)/169 + 184/13 + 5 = -1196/169 + 184/13 + 5 =
= -92/13 + 184/13 + 5 = 92/13 + 5 = (92 + 65)/13 = 157/13
Достаточное условие: найдем вторые производные.
A = d2z/dx^2 = 2 > 0; B = d2z/(dxdy) = -3; C = d2z/dy^2 = -2
D = AC - B^2 = 2(-2) - (-3)^2 = -4 - 9 = -13 < 0
Так как D < 0, в этой точке экстремума нет. Это седловая точка.
Ответ: Экстремумов нет