Question

Помогите, пожалуйста, решить неопределенный интеграл $int { frac{1}{8-4sin(x)+7cos(x)} } , dx$

Answer 1

$int frac{dx}{8-4sinx+7cosx} =[; t=tg frac{x}{2} ; ,; sinx= frac{2t}{1+t^2}; ,; cosx= frac{1-t^2}{1+t^2}; ,\\ dx= frac{2, dt}{1+t^2} ; ]=int frac{2, dt}{(1+t^2)cdot (8- frac{8t}{1+t^2} +frac{7-7t^2}{1+t^2} )} =2cdot int frac{dt}{8+8t^2-8t+7-7t^2} =\\=2cdot int frac{dt}{t^2-8t+15} =2cdot int frac{d(t-4)}{(t-4)^2-1} =2cdot frac{1}{2}cdot lnBig |frac{t-4-1}{t-4+1}Big |+C=\\=lnBig | frac{tgfrac{x}{2}-5}{tgfrac{x}{2}-3} Big |+C$