Question

Помогите решить логарифмическое неравенство!!!

логарифм от (1+логарифм в квадрате от x по основанию 7) по основанию (1+логарифм от 7 по основанию x) меньше либо равен 1.

Правильный ответ: (0;1/7) и (1;7].
У меня вдобавок получается еще и (1/7;1). Почему этот промежуток не входит?

Answer 1

Требуется решить следующее неравенство:
$log_{1 + log_{x} 7} (1 + log_{7} ^{2} x) \leq 1$

Для начала немного упростим задачу: введём замену. Она очевидна.
Пусть $log_{7} x = t$
Тогда наше неравенство принимает вид:
 
$log_{1 + \frac{1}{t} } (1+ t^{2} ) \leq 1$

Это неравенство - хороший кандидат на использование метода замены множителя. Рабочую формулу метода для логарифмических неравенств Вы можете посмотреть в сети Интернет, здесь же я только использую её.
Кроме того, я использовал то, что если в логарифме переставить местами основание и логарифмируемое выражение, то получатся взаимнообратные числа, что я и учёл при замене. Используем метод:

$log_{1 + \frac{1}{t} }(1 + t^{2} ) \leq log_{1 + \frac{1}{t} } (1 + \frac{1}{t} )$
$\left \{ {{(1 + \frac{1}{t} - 1)(1 + t^{2} - (1 + \frac{1}{t} ) \leq 0 )} \atop {1 + \frac{1}{t} \ \textgreater \ 0 }} \right.$

Здесь помимо рабочей формулы(она первая в системе), я обязан был учесть ещё и ОДЗ неравенства. Но логарифмируемое выражение и так всегда больше 0, поскольку к 1 прибавляется квадрат - заведомо положительное число, а основание никогда не равно 1, поскольку для этого частное 1/t должно быть равно 0, но это также никогда не произойдёт. Поэтому дополнительно к формуле требуем лишь, чтобы основание было больше 0.

Дальше решаем каждое из неравенство по очереди:
$\frac{ t^{2} - \frac{1}{t} }{t} \leq 0$
Это обыкновенное неравенство, решаемое методом интервалов, поэтому
$\frac{ t^{3} - 1 }{ t^{2} } \leq 0 \\ \frac{(t - 1)( t^{2} + t + 1) }{ t^{2} } \leq 0 \\ \frac{(t - 1)}{ t^{2} } \leq 0$
Здесь я разделил на $t^{2} + t + 1$, не изменив знак неравенства. Это связано с тем, что данный трёхчлен всюду положительный(дискриминант отрицательный, ветви параболы направлены вверх, то есть, парабола трёхчлена полностью лежит над осью OX).
Ну и последнее неравенство легко решается методом интервалов.

$t$∈$(-$∞$, 0)$∪$(0, 1]$
Теперь решаем второе неравенство(сразу приводим левую часть к общему знаменателю): $\frac{t + 1}{t} \ \textgreater \ 0 \\ t$∈$(-$∞$, -1)$∪$(0, +$∞)
Решение системы, как известно, пересечение решений обоих неравенств. Следовательно, решение системы
t ∈ (-∞$, -1)$∪$(0, 1]$

Теперь,когда мы получили окончательные решения для t, можно вернуться к переменной x, подставив вместо t логарифм и решив полученную СОВОКУПНОСТЬ неравенств.

$log_{7} x \ \textless \ -1$ или  $0\ \textless \ log_{7} x \leq 1$

Первое неравенство легко решается:
$log_{7} x \ \textless \ log_{7} \frac{1}{7} \\ x \ \textless \ \frac{1}{7}$
Вроде бы оно так, но при таких пробегах x вполне может уйти за 0 в отрицательную сторону, а для логарифма это - критично. Так что ограничим ещё и 0 слева и получим
$0 \ \textless \ x \ \textless \ \frac{1}{7}$ - часть решения нашего неравенства.

Дальше решаем двойное неравенство. Его лучше записать как систему из левого неравенства и из правого неравенства. Решение, соответственно, есть пересечение решений обоих.

$log_{7} x \ \textgreater \ 0 \\ log_{7} x \ \textgreater \ log_{7} 1 \\ x \ \textgreater \ 1$ - а вот тут x уходит уже в сторону положительных чисел, так что подпирать нигде ничем не нужно.
$log_{7} x \leq 1 \\ log_{7} x \leq log_{7} 7 \\ x \leq 7$ - но и тут x уходит в отрицательном направлении, если зайти слишком далеко, то есть, опять подпираем нулём:
$0 \ \textless \ x \leq 7$
Коли двойное неравенство - система, ищем лишь пересечение решений.
$1 \ \textless \ x \leq 7$
Не забываем, что это ещё не всё. У нас было первое неравенство. Берём оба этих решения и ОБЪЕДИНЯЕМ их(решения совокупности именно объединяются), то есть, берём оба и записываем в ответ.
Итак, ответ состоит из двух частей, которые и пишем:

x∈$(0, \frac{1}{7} )$∪$(1, 7]$ - это и есть ответ. Как видите, он вполне совпал с тем, что должно было быть.