Question

помогите решить логарифмическое неравенство

Answer 1

$log_2(x+4) \geq log_{4x+16}(8)$

Решение
Область допустимых значений (ОДЗ) неравенства
$\left \{ {{x+4\ \textgreater \ 0} \atop {4x+16 \neq 1}} \right.\ \textless \ =\ \textgreater \ \left \{ {{x\ \textgreater \ -4} \atop {x \neq - \frac{15}{4} }} \right.$

$log_2(x+4) \geq log_{4x+16}(2^3)$
Применяем свойство логарифма
$log_a(b^n)=nlog_a(b)$
$log_2(x+4) \geq 3log_{4x+16}(2)$
Применяем свойство логарифма
$log_a(b)= \frac{1}{log_b(a)}$
$log_2(x+4) \geq \frac{3}{log_2(4x+16)}$
$log_2(x+4) \geq \frac{3}{log_2(4(x+4))}$
Применяем свойство логарифма
$log_a(b*c)=log_a(b)+log_a(c)$
$log_2(x+4) \geq \frac{3}{log_2(x+4)+log_2(4)}$
$log_2(x+4) \geq \frac{3}{log_2(x+4)+log_2(2^2)}$
$log_2(x+4) \geq \frac{3}{log_2(x+4)+2log_2(2)}$
Применяем свойство логарифма
$log_a(a)=1$
$log_2(x+4) \geq \frac{3}{log_2(x+4)+2}$
Делаем замену переменных
$y=log_2(x+4)$
$y \geq \frac{3}{y+2}$
$y -\frac{3}{y+2} \geq 0$
$\frac{y(y+2)-3}{y+2} \geq 0$
$\frac{y^2+2y-3}{y+2} \geq 0$
Разложим числитель дроби на множители решив уравнение
y²+2y-3=0
D=2²-4(-3)=4+12=16
y₁=(-2-√(16))/2=(-2-4)/2=-6/2=-3
y₂=(-2+√(16))/2=(-2+4)/2=2/2=1
Поэтому можно записать
y²+2y-3=(y+3)(y-1)
Запишем неравенство
$\frac{(y+3)(y-1)}{y+2} \geq 0$
Решим неравенство по методу интервалов.
Для этого на числовой оси отобразим точки знакоперемены знака левой части неравенства и знаки левой части по методу подстановки. Например при у=0 (y+3)(y-1)/(y+2)=3*(-1)/2=-1,5<0

     -     0      +      0     -      0      +
----------!-------------!------------!---------
          -3             -2             1
Решением неравенства являются все значения y∈[-3;-2)U[1;+∞)
Значение -2 не входит в решение так как знаменатель y+2 не может раняться нулю.
Найдем значения х совершив обратную замену
$\left \{ {{log_2(x+4) \geq -3} \atop {log_2(x+4)\ \textless \ -2}} \right.\ \textless \ =\ \textgreater \ \left \{ {{x+4 \geq \frac{1}{8} } \atop {x+4\ \textless \ \frac{1}{4} }} \right.\ \textless \ =\ \textgreater \ \left \{ {{x \geq -\frac{31}{8} } \atop {x\ \textless \ - \frac{15}{4} }}$
$log_2(x+4) \geq 1\ \textless \ =\ \textgreater \ x+4 \geq 2\ \textless \ =\ \textgreater \ x \geq -2$
Все полученные решения входят в ОДЗ.
Следовательно решением неравенства являются все значения x∈[-31/8;-15/4)U[-2;+∞)
Ответ:x∈[-3,875;-3,75)U[-2;+∞)