Question

в равнобедренный прямоугольный треугольник вписана окружность радиуса 9. Вторая окружность касается катетов треугольника и первой окружности. Найти радиус второй окружности.

Answer 1

Проведем из центров окружностей радиусы в точки касания окружностей с катетами. Они перпендикулярны катетам.
Получились квадраты СКОН и CFO'E,  стороны которых равны 9 и r соответственно.
Проведем O'H'║EH.
OO' = 9 + r
OH' = O'H' = 9 - r
Из треугольника OH'O' (∠OH'O' = 90°) по теореме Пифагора составим уравнение:
(OO')² = (OH')² + (O'H')²
(9 + r)² = (9 - r)² + (9 - r)²
81 + 18r + r² = 2(81 - 18r + r²)
81 + 18r + r² = 162 - 36r + 2r²
r² - 54r + 81 = 0
D/4 = 27² - 81 = 648
r = 27 + 18√2        или              r = 27 - 18√2
В первом случае радиус маленькой окружности приблизительно равен 52,5, что невозможно по условию задачи, во втором ≠ 1,5.
Ответ: 27 - 18√2