Question

Как посчитать это не на калькуляторе???

Answer 1

Никак, если только приблизительно.
√6 = √2*√3 = 1,41*1,73
Впрочем, для этого все равно калькулятор нужен.
Обычно в ответах так и пишут: √6, не считая ничего в числах.

Answer 2

Есть так называемая итеррационная формула Герона. 

На примере корня из 6 это работает так. Определяем приблизительное значение корня . Между 2 и 3  - скажем 2.5 
Применяем формулу 
√6~=1/2*(2.5+6/2.5)=2.45
Далее используем ту же формулу
√6~=1/2*(2.45+6/2.45)=2.449
и т.д.  до нужной точности. 
Вычисления очень быстро сходится.