Question

$log_{3} x = 1 + log_{x}9$
11 класс, задача повышенной сложности.

Answer 1

ОДЗ
{x>0
{x≠1
x∈(0;1) U (1;∞)
log(x)9=log(3)9/log(3)x
log(x)9=2/log(3)x
log(3)x=1+2/log(3)x
log(3)x=a, 
a=1+2/a
a²-a-2=0
a1+a2=1 U a1*a2=-2
a1=-1⇒log(3)x=-1⇒x=1/3
a2=2⇒log(3)x=2⇒x=9
Ответ x={1/3;9}

Answer 2

ОДЗ:
x≠1
x>0

$log_3x=1+log_x9 \\ log_3x=log_xx+log_x9 \\ log_3x=log9x \\ log_3x= \frac{log_39x}{log_3x} \\ \\ log_3x= \frac{log_39+log_3x}{log_3x} \\ \\ log_3x= \frac{2log_33+log_3x}{log_3x} \\ \\ log_3x= \frac{2+log_3x}{log_3x} \\ log^2 _3x=2+log_3x \\ log^2 _3x-log_3x-2=0$

замена:
$log_3(x)=t$

$t^2-t-2=0 \\ D=1+8=9=3^2 \\ t_1=(1-3)/2=-1 \\ t_2=(1+3)/2=2$

Обратная замена:
$log_3x=2 \\ log_3x=log_33^2 \\ x=3^2 \\ x=9$

$log_3x=-1 \\ log_3x=log_33^-^1 \\ x=3^-^1 \\ x= \frac{1}{3}$

Ответ: x=9;  x=1/3