Question

1) Верно ли, что из 2016 целых чисел всегда можно выбрать 2 числа так, чтобы их сумма была четной?
2)Можно ли натуральные числа от 1 до 21 включительно разбить на несколько групп так, чтобы в каждой группе одно из чисел равнялось сумме всех остальных чисел в этой группе?

Answer 1

1) Это верно даже для 3-х чисел...))
    Из 3-х любых целых чисел всегда можно выбрать 2 таких, что они будут либо оба четные, либо оба нечетные.
То есть 2 числа, допустим, четное и нечетное. Третье будет либо четным, либо нечетным. Поэтому среди 3-х любых целых чисел всегда можно найти пару четных или пару нечетных чисел.

Для чего нам это нужно? - С четными все понятно:
        2n - первое число, 2(n+k) - второе.
Тогда: 2n + 2(n+k) = 2*(n+n+k) = 2*(2n+k)
Результатом умножения на 2 любого целого числа будет четное число.

Теперь рассмотрим 2 нечетных числа:
        2n+1 - первое число, 2(n+k)+1 -второе число
Сумма: 2n+1 + 2(n+k)+1 = 2*(2n+k)+2 - очевидно, также четное.

Таким образом, из 2016 целых чисел всегда можно выбрать 2 числа так, чтобы их сумма была четной.

2) Нет, нельзя.
Если такое разбиение есть, то полная сумма 1 + 2 + ... + 21 разбивается на две равные части:
1. сумма всех максимальных чисел в каждой группе и
2. сумма всех остальных по всем группам.

Поскольку полная сумма 1 + 2 + ... + 21 = ((1+21) * 21):2 = 11 * 21 = 231 нечётна, то это невозможно.