Question

Помогите решить олимпиаду (4)

Answer 1

Область определения: x <= 1
Замена $\sqrt{1-x} +2=y$
(y - 1)^4 + (y + 1)^4 <= 272
y^4 - 4y^3 + 6y^2 - 4y + 1 + y^4 + 4y^3 + 6y^2 + 4y + 1 <= 272
2y^4 + 12y^2 + 2 <= 272
Делим все на 2 и переносим 272 влево
y^4 + 6y^2 - 135 <= 0
(y^2 + 15)(y^2 - 9) <= 0
y^2 + 15 > 0 при любом y, поэтому
y^2 - 9 = (y + 3)(y - 3) <= 0
Обратная замена
(√(1-x) + 2 + 3)(√(1-x) +2 - 3) <= 0
(√(1-x) + 5)(√(1-x) - 1) <= 0
Корень арифметический, то есть неотрицательный, поэтому 1 скобка положительна при любом x < 1. Остается
√(1 - x) - 1 <= 0
√(1 - x) <= 1
1 - x <= 1
x >= 0
Но, по области определения x <= 1. Поэтому
Ответ: x ∈ [0; 1]