Question

Найти наибольшее слагаемое разложения:

Answer 1

Общий член разложения вычисляется по формуле:

             $T_{m+1}=C^m_n a^mx^{n-m}$

Рассмотрим отношение двух соседних слагаемых $\dfrac{T_{k+2}}{T_{k+1}}$. Так как $T_{k+1}=C^k_{20} \sqrt{2^k\cdot50^{20-k}} , \,\,\,T_{k+2}=C^{k+1}_{20} \sqrt{2^{k+1}\cdot5^{19-k}}$, то
$\dfrac{T_{k+2}}{T_{k+1}} = \dfrac{20-k}{k+1} \sqrt{ \dfrac{2}{5} }$

Эта функция монотонно убывает с ростом к; слагаемые возрастают, если $\dfrac{T_{k+2}}{T_{k+1}} \ \textgreater \ 1$

Тогда решив неравенство:

$\dfrac{20-k}{k+1} \sqrt{ \dfrac{2}{5} } \ \textgreater \ 1\\ \\ \\ ( \sqrt{2} +\sqrt{5})k\ \textless \ 20\sqrt{2}-\sqrt{5}\\ \\ \\ k\ \textless \ \dfrac{20\sqrt{2}-\sqrt{5}}{\sqrt{2}+\sqrt{5}} =7\sqrt{10}-15\approx7$

То есть, при к=7 получим наибольшее слагаемое $T_9=C^9_{20}\cdot 2^4\cdot 5^6= \dfrac{20!}{9!11!} \cdot 16\cdot 5^6=314925\cdot10^5$