Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям у=у₀ при х=х₀
а)
, y(1) = 2
б) y''-4y'+5y = 10x+2 y'(0)=6, y(0)=10
Ответы
Ответ дал:
1
a) это дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенной относительной производной. Также это уравнение с разделяющимися переменными.
Переходя к определению дифференциала
![\frac{dy}{dx} =- \frac{y}{2x} \frac{dy}{dx} =- \frac{y}{2x}](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D+%3D-+%5Cfrac%7By%7D%7B2x%7D+)
- уравнение с разделёнными переменными
Интегрируя обе части уравнения, получаем
![\int \frac{2dy}{y} dx=-\int \frac{1}{x}dx\\ \\ \ln y^2=\ln C-\ln|x|\\ \\ y^2= \frac{C}{x} \int \frac{2dy}{y} dx=-\int \frac{1}{x}dx\\ \\ \ln y^2=\ln C-\ln|x|\\ \\ y^2= \frac{C}{x}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cint+%5Cfrac%7B2dy%7D%7By%7D+dx%3D-%5Cint+%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%7Ddx%5C%5C+%5C%5C+%5Cln+y%5E2%3D%5Cln+C-%5Cln%7Cx%7C%5C%5C+%5C%5C+y%5E2%3D+%5Cfrac%7BC%7D%7Bx%7D+)
Получили общий интеграл.
Найдем решение задачи Коши
![2^2= \frac{C}{1} \\C=4 2^2= \frac{C}{1} \\C=4](https://tex.z-dn.net/?f=2%5E2%3D+%5Cfrac%7BC%7D%7B1%7D+%5C%5CC%3D4)
- частный интеграл.
б)![y''-4y'+5y=10x+2 y''-4y'+5y=10x+2](https://tex.z-dn.net/?f=y%27%27-4y%27%2B5y%3D10x%2B2)
Классификация: Дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, относится к первому виду со специальной правой части.
Нужно найти: уо.н. = уо.о. + уч.н., где уо.о. - общее решение однородного уравнения, уч.н. - частное решением неоднородного уравнения.
1) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения
![y''-4y'+5y=0 y''-4y'+5y=0](https://tex.z-dn.net/?f=y%27%27-4y%27%2B5y%3D0)
Перейдем к характеристическому уравнению, пользуясь методом Эйлера.
Пусть
, тогда получаем
![k^2-4k+5=0\\ D=b^2-4ac=(-4)^2-4\cdot1\cdot 5=16-20=-4\\ \sqrt{D} =2i\\ k_{1,2}=2\pm i k^2-4k+5=0\\ D=b^2-4ac=(-4)^2-4\cdot1\cdot 5=16-20=-4\\ \sqrt{D} =2i\\ k_{1,2}=2\pm i](https://tex.z-dn.net/?f=k%5E2-4k%2B5%3D0%5C%5C+D%3Db%5E2-4ac%3D%28-4%29%5E2-4%5Ccdot1%5Ccdot+5%3D16-20%3D-4%5C%5C++%5Csqrt%7BD%7D+%3D2i%5C%5C+k_%7B1%2C2%7D%3D2%5Cpm+i)
Тогда общее решением однородного уравнения примет вид:
![y_{o.o.}=e^{2x}(C_1\cos x+C_2\sin x) y_{o.o.}=e^{2x}(C_1\cos x+C_2\sin x)](https://tex.z-dn.net/?f=y_%7Bo.o.%7D%3De%5E%7B2x%7D%28C_1%5Ccos+x%2BC_2%5Csin+x%29)
2) Нахождение частного решения.
Рассмотрим функцию![f(x)=10x+2=e^{0x}(10x+2) f(x)=10x+2=e^{0x}(10x+2)](https://tex.z-dn.net/?f=f%28x%29%3D10x%2B2%3De%5E%7B0x%7D%2810x%2B2%29)
![\alpha=0;\,\, P_n(x)=10x+2\,\,\, \Rightarrow\,\,\,\,\, n=1 \alpha=0;\,\, P_n(x)=10x+2\,\,\, \Rightarrow\,\,\,\,\, n=1](https://tex.z-dn.net/?f=%5Calpha%3D0%3B%5C%2C%5C%2C+P_n%28x%29%3D10x%2B2%5C%2C%5C%2C%5C%2C+%5CRightarrow%5C%2C%5C%2C%5C%2C%5C%2C%5C%2C+n%3D1)
Сравнивая
с корнями характеристического уравнения и принимаем во внимания что n=1, то частное решением будем искать в виде:
yч.н. =![Ax+B Ax+B](https://tex.z-dn.net/?f=Ax%2BB)
Предварительно вычислим 1 и 2 производные функции
![y'=A\\ y''=0 y'=A\\ y''=0](https://tex.z-dn.net/?f=y%27%3DA%5C%5C+y%27%27%3D0)
Подставим в исходное уравнение
![0-4\cdot A+5\cdot (Ax+B)=10x+2\\ -4A+5Ax+5B=10x+2\\ 5Ax+5B-4A=10x+2 0-4\cdot A+5\cdot (Ax+B)=10x+2\\ -4A+5Ax+5B=10x+2\\ 5Ax+5B-4A=10x+2](https://tex.z-dn.net/?f=0-4%5Ccdot+A%2B5%5Ccdot+%28Ax%2BB%29%3D10x%2B2%5C%5C+-4A%2B5Ax%2B5B%3D10x%2B2%5C%5C+5Ax%2B5B-4A%3D10x%2B2)
Приравниваем коэффициенты при степени х
![\displaystyle \left \{ {{5A=10} \atop {5B-4A=2}} \right. \Rightarrow \left \{ {{A=2} \atop {B=2}} \right. \displaystyle \left \{ {{5A=10} \atop {5B-4A=2}} \right. \Rightarrow \left \{ {{A=2} \atop {B=2}} \right.](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle++%5Cleft+%5C%7B+%7B%7B5A%3D10%7D+%5Catop+%7B5B-4A%3D2%7D%7D+%5Cright.+%5CRightarrow+%5Cleft+%5C%7B+%7B%7BA%3D2%7D+%5Catop+%7BB%3D2%7D%7D+%5Cright.+)
Частное решение будет иметь вид: уч.н. = 2х + 2
Тогда общее решение неоднородного уравнения:
уо.н. =![e^{2x}(C_1\cos x+C_2\sin x)+2x+2 e^{2x}(C_1\cos x+C_2\sin x)+2x+2](https://tex.z-dn.net/?f=e%5E%7B2x%7D%28C_1%5Ccos+x%2BC_2%5Csin+x%29%2B2x%2B2)
Найдем решение задачи Коши
![y'=2e^{2x}(C_1\cos x+C_2\sin x)+e^{2x}(-C_1\sin x+C_2\cos x)+2=\\ \\ =e^{2x}(\cos x(2C_1+C_2)+\sin x(2C_2-C_1))+2 y'=2e^{2x}(C_1\cos x+C_2\sin x)+e^{2x}(-C_1\sin x+C_2\cos x)+2=\\ \\ =e^{2x}(\cos x(2C_1+C_2)+\sin x(2C_2-C_1))+2](https://tex.z-dn.net/?f=y%27%3D2e%5E%7B2x%7D%28C_1%5Ccos+x%2BC_2%5Csin+x%29%2Be%5E%7B2x%7D%28-C_1%5Csin+x%2BC_2%5Ccos+x%29%2B2%3D%5C%5C+%5C%5C+%3De%5E%7B2x%7D%28%5Ccos+x%282C_1%2BC_2%29%2B%5Csin+x%282C_2-C_1%29%29%2B2)
![\displaystyle \left \{ {{2C_1+C_2+2=6} \atop {C_1+2=10}} \right. \Rightarrow \left \{ {{C_2=-12} \atop {C_1=8}} \right. \displaystyle \left \{ {{2C_1+C_2+2=6} \atop {C_1+2=10}} \right. \Rightarrow \left \{ {{C_2=-12} \atop {C_1=8}} \right.](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle++%5Cleft+%5C%7B+%7B%7B2C_1%2BC_2%2B2%3D6%7D+%5Catop+%7BC_1%2B2%3D10%7D%7D+%5Cright.+%5CRightarrow+%5Cleft+%5C%7B+%7B%7BC_2%3D-12%7D+%5Catop+%7BC_1%3D8%7D%7D+%5Cright.+)
Частное решение: уo.н. =![e^{2x}(8\cos x-12\sin x)+2x+2 e^{2x}(8\cos x-12\sin x)+2x+2](https://tex.z-dn.net/?f=e%5E%7B2x%7D%288%5Ccos+x-12%5Csin+x%29%2B2x%2B2)
Переходя к определению дифференциала
Интегрируя обе части уравнения, получаем
Получили общий интеграл.
Найдем решение задачи Коши
б)
Классификация: Дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, относится к первому виду со специальной правой части.
Нужно найти: уо.н. = уо.о. + уч.н., где уо.о. - общее решение однородного уравнения, уч.н. - частное решением неоднородного уравнения.
1) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения
Перейдем к характеристическому уравнению, пользуясь методом Эйлера.
Пусть
Тогда общее решением однородного уравнения примет вид:
2) Нахождение частного решения.
Рассмотрим функцию
Сравнивая
yч.н. =
Предварительно вычислим 1 и 2 производные функции
Подставим в исходное уравнение
Приравниваем коэффициенты при степени х
Частное решение будет иметь вид: уч.н. = 2х + 2
Тогда общее решение неоднородного уравнения:
уо.н. =
Найдем решение задачи Коши
Частное решение: уo.н. =
Вас заинтересует
5 месяцев назад
5 месяцев назад
1 год назад
2 года назад
2 года назад
7 лет назад