Question

Помогите решить пример

Answer 1

По условию $x_1^2,x_1x_2,x_2^2$ - корни уравнения третьей степени, то

$(x-x_1^2)(x-x_1x_2)(x-x_2^2)=x^3-(x_1^2+x_1x_2+x_2^2)x^2+\\ \\ +(x_1^3x_2+x_1^2x_2^2+x_1x_2^3)x-x_1^3x_2^3=0$

Представим слагаемые в следующем виде: 
$x_1^2+x_1x_2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-x_1x_2=p^2-q$
$x_1^3x_2+x_1^2x_2^2+x_1x_2^3=x_1x_2$

$x_1^2+x_2^2+x_1^2x_2^2=x_1x_2((x_1+x_2)^2-x_1x_2)+x_1^2x_2^2=\\ \\ =q(p^2-2q)+q^2=qp^2-q^2$

$x_1^3x_2^3=(x_1x_2)^3=q^3$

Искомое уравнение имеет вид:

$x^3-(p^2-q)x^2+(p^2q-q^2)x-q^3=0$

Answer 2

Уравнение:x³+ax²+ba+c=0
x²+px+q=0⇒x1+x2=-p U x1*x2=q
{x1²+x1x2+x2²=-a
{x1²x1x2+x1²x2²+x1x2x2²=b
{x1²x1x2x2²=-3    
 отсюда следует
{(x1+x2)²-x1x2=-a
{x1³x2+x1²x2²+x1x2³=b
{x1³x2³=-c
отсюда
{(x1+x2)²-x1x2=-a
{x1x2(x1²+x2²)+x1²x2²=b
{x1³x2³=-c
отсюда
{(x1+x2)²-x1x2=-a
{x1x2[(x1+x2)²-2x1x2]+x1²x2²=b
{x1³x2³=-c
отсюда
{(x1+x2)²-x1x2=-a
{x1x2(x1+x2)²-x1²x2²=b
{x1³x2³=-c
подставим х1+х2=-p ,x1*x2=q и получим
{(-p)²-q=-a
{q(-p)²-q²=b
{q³=-c
или
{{a=q-p²
{b=p²q-q²
{c=-q³
подставим в  кубическое уравнение
x³+(q-p²)x²+)p²q-q²)x-q³=0