Question

Задание приложено. Решить 5 и 6 примеры.

Answer 1

5) Во-первых, по свойствам логарифмов $log_5|4x|= \frac{1}{log_{4x}5}$
Область определения x > 0; 4x ≠ 1; x ≠ 1/4
x ∈ (0; 1/4) U (1/4; +oo)
Обозначим $log_5|4x|=u; sin(x+y)=v$
$u+ \frac{1}{u} = \frac{2}{v^2-2v+2}$

В правой части знаменатель v^2 - 2v + 2 = (v - 1)^2 + 1 > 0 при любом v,
поэтому левая часть тоже положительна. Значит, u > 0.
Тогда левая часть имеет минимум, равный 2, при u = 1.
А правая часть имеет максимум, равный 2, при v = 1

Так что, это уравнение имеет только одно решение:
{ $u=log_5|4x|=1$
{ $v=sin(x+y)=1$
Решаем
{ 4x = 5; x = 5/4, подставляем  во 2 уравнение
x + y = 5/4 + y = pi/2 + pi*k; y = pi/2 - 5/4 + pi*k

Ответ: x = 5/4; y = pi/2 - 5/4 + pi*k

6) $log_{a-2013}(x^2+1)=log_{a-2013}((a-2012)*x)$
Область определения: a > 2013; a ≠ 2014; (a-2012)*x > 0
Если a > 2013, то a - 2012 > 0, значит, x > 0
Область определения для a: a ∈ (2013; 2014) U (2014; +oo)
Область определения для x: x ∈ (0; +oo)

Решаем само уравнение.
Основания логарифмов равны, переходим к выражениям под логарифмами.
x^2 + 1 = (a-2012)*x
x^2 - (a-2012)*x + 1 = 0
D = (a-2012)^2 - 4*1*1 = a^2 - 4024a + 2012^2 - 4
Так как должно быть два решения, то D > 0
a^2 - 4024a + 4048140 > 0
Осталось решить это неравенство.
D1 = 4024^2 - 4*4048140 = 16 (как ни странно)
a1 = (4024 - 4)/2 = 4020/2 = 2010
a2 = (4024 + 4)/2 = 4028/2 = 2014
Неравенство выполнено при a ∈ (-oo; 2010) U (2014; +oo)
Но по области определения a ∈ (2013; 2014) U (2014; +oo)
Поэтому ответ: a ∈ (2014; +oo)