Question

основанием пирамиды является ромб, диагонали которого d₁, d₂. Высота пирамиды проходит через вершину острого угла ромба. Площадь диагонального сечения, проведенного через меньшую диагональ, равна Q. Найти объем пирамиды при условии, что d₁>d₂

Answer 1

Дано: $AC=d_1;\,\,\, BD=d_2,\,\,\,\, SA\perp ABCD$, $S_{з SBD}=Q$

Найти: V.

Решение:

$S_{з SBD}= \frac{1}{2} BD \cdot SO=\frac{1}{2}d_2\cdot SO=Q$ отсюда выразим SO:
$SO= \frac{2Q}{d_2}$

Из треугольника SOA(∠SAO=90°): по т. Пифагора :
$SA= \sqrt{SO^2-SA^2} = \sqrt{ \dfrac{4Q^2}{d^2_2}- \dfrac{d_1^2}{4} } = \dfrac{\sqrt{16Q^2-d_1^2d_2^2}}{2d_2}$

Тогда объем пирамиды:

$V= \dfrac{1}{3}\cdot S_o\cdot h= \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2} d_1\cdot d_2\cdot\dfrac{\sqrt{16Q^2-d_1^2d_2^2}}{2d_2} =\dfrac{d_1\sqrt{16Q^2-d_1^2d_2^2}}{12}$


Ответ: $\dfrac{d_1\sqrt{16Q^2-d_1^2d_2^2}}{12}$