Question

Найти. уравнения касательной. плоскости и нормами к заданной поверхности. S.b.точки М.о.: S:y²-z²-2xz+2x=z. Mo(1,1,1)

Answer 1

Все перенесем в одну часть  и обозначим все функцией F:
$F=y^2-z^2-2xz+2x-z$

теперь найдем все частные производные функции F в точке М₀

$F'_x=-2z+2; \ \ F'_x(M_0)=-2*1+2=0 \\ \\ F'_y=2y; \ \ F'_y(M_0)=2*1=2 \\ \\ F'_z=-2z-2x-1; \ \ F'_z(M_0)=-2*1-2*1-1=-5$

1) Уравнение касательной плоскости:

$F'_x(M_0)*(x-x_0)+F'_y(M_0)*(y-y_0)+F'_z(M_0)*(z-z_0)=0$,

где x₀, y₀ и z₀ - это координаты точки М₀ (то есть x₀=1; y₀=1; z₀=1)

$0*(x-1)+2(y-1)-5(z-1)=0 \\ \\ 2y-2-5z+5=0 \\ \\ 2y-5z+3=0 \\ \\ OTBET: \ 2y-5z+3=0$

2) уравнение нормали: (прямой, перпендикулярной поверхности)

$\frac{x-x_0}{F'_x(M_0)} = \frac{y-y_0}{F'_y(M_0)} = \frac{z-z_0}{F'_z(M_0)} \\ \\ \\ \frac{x-1}{0} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-1}{-5} \\ \\ OTBET: \ \frac{x-1}{0} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-1}{-5}$