Question

Доказать, что $\lim_{n \to \infty}\sin( \pi \sqrt{n^2+1} )=0$

Answer 1

Рассмотрим $|\sin( \pi \sqrt{n^2+1} )|=$
$=|\sin( \pi \sqrt{n^2+1} )-\sin \pi n|=|2\sin \frac{ \pi (\sqrt{n^2+1}-n)}{2}\cos \frac{ \pi (\sqrt{n^2+1}+n)}{2} |\leq\\ \\ \\ \leq2\bigg|\sin \dfrac{ \pi }{2(\sqrt{n^2+1}+n)} \bigg| \leq 2\cdot \dfrac{ \pi }{2(\sqrt{n^2+1}+n)} \ \textless \ \dfrac{ \pi }{n}$