Question

высшая математика. Предел тригонометрических выражений
Lim 1-cos^2(3x)/3tg(x^2). X стремится к нулю в обеих задачах
Lim arctg4x/cos2x*sin6x=2/a Найти а

Answer 1

Раз, высшая математика, значит, правило Лопиталя знаем.
x -> 0 везде опускаем, но подразумеваем.

1. lim (1 - (cos(3x))^2) / (3tg(x^2)) = lim (sin(3x)) / (3tg(x^2)) =
(тангенс распишем через sin(x^2)/cos(x^2))
= (1/3) * lim (sin(3x))^2 * cos(x^2) / sin(x^2) =
= (1/3) * lim cos(x^2) * lim (sin(3x))^2 / sin(x^2) =
(предел косинуса равен 1)
= (1/3) * lim (sin(3x))^2 / sin(x^2) =
(используем правило Лопиталя)
= (1/3) * lim [6 cos(3x) sin(3x)] / [2x cos(x^2)] =
= lim cos(3x)/cos(x^2) * lim sin(3x) / x = lim sin(3x) / x =
(предел отношения косинусов равен 1, затем правило Лопиталя)
= lim 3 cos(3x) /1 = 3
ВСЁ

2. lim arctg(4x) / [cos(2x) * sin(6x)] = lim 1/cos(2x) * lim arctg(4x) / sin(6x) =
(предел косинуса равен 1, затем правило Лопиталя)
= lim arctg(4x)/sin(6x) = lim [4/(16x^2 + 1)]/[6 cos(6x)] = 4/6 = 2/3
Отсюда a = 3
 
Правило Лопиталя: предел отношений функций равен пределу отношения их производных. Т.е. надо взять производные числителя и знаменателя. Используется при раскрытии неопределённости 0/0, как в наших случаях.