Question

Решите уравнение, пожалуйста)
$(x-3) \sqrt[3]{ \frac{x-3}{x+4} } - (x+4) \sqrt[3]{ \frac{x+4}{x-3} } =7$

Answer 1

Область определения для x: x ≠ -4; x ≠ 3.
Сделаем замену $a= \sqrt[3]{ \frac{x-3}{x+4} }$, тогда $\sqrt[3]{ \frac{x+4}{x-3} } = \frac{1}{a}$
Область определения для а: a ≠ 0
Выразим отсюда x
$a^3= \frac{x-3}{x+4} = \frac{x+4-7}{x+4} =1- \frac{7}{x+4}$
$\frac{7}{x+4} =1-a^3$
$x+4= \frac{7}{1-a^3}$
$x-3=x+4-7= \frac{7}{1-a^3}-7 = \frac{7-7(1-a^3)}{1-a^3} = \frac{7a^3}{1-a^3}$
Область определения для а: a ≠ 1
Подставляем все это в уравнение:
$\frac{7a^3}{1-a^3}*a- \frac{7}{1-a^3}* \frac{1}{a} =7$
Делим все на 7
$\frac{a^4}{1-a^3} - \frac{1}{a(1-a^3)} =1$
Приводим к общему знаменателю a(1 - a^3)
$\frac{a^5-1}{a(1-a^3)} =1$
Переносим 1 налево
$\frac{a^5-1-a(1-a^3)}{a(1-a^3)}=0$
Если дробь равна 0, то ее числитель равен 0, а знаменатель нет.
a^5 - 1 - a + a^4 = 0
a^5 + a^4 - a - 1 = 0
(a - 1)(a + 1)(a^3 + a^2 + a + 1) = 0
(a - 1)(a + 1)^2*(a^2 + 1) = 0
a ≠ 1, поэтому уравнение имеет единственный корень:
a = -1. Обратная замена
$\sqrt[3]{ \frac{x-3}{x+4} } =-1$
(x - 3)/(x + 4) = -1
(x - 3)/(x + 4) + 1 = 0
(x - 3 + x + 4)/(x + 4) = 0
2x + 1 = 0
x = -1/2
Всё!