Question

Найти количество корней уравнения $\sqrt{3} * sin^{2}(2x)-2sin(4x)+ \sqrt{3} *cos^2(2x)=0$, принадлежащие промежутку $[-1;1]$

Answer 1

заметим, что $sin4x = 2sin2xcos2x$
$\sqrt{3} sin^22x - 4sin2xcos2x+ \sqrt{3} cos^22x=0 | cos^22x$
$\sqrt{3} tg^22x-4tg2x- \sqrt{3} =0$
делаем замену $tg2x = a$
$\sqrt{3} a^2-4a+ \sqrt{3} =0$
решаем квадратное уравнение относительно переменной а:
$D = (2)^2$
$x_{1} = \frac{4+2}{2 \sqrt{3} } = \frac{3}{ \sqrt{3} } = \sqrt{3}$
$x_{2} = \frac{4-2}{2 \sqrt{3} } = \frac{1}{ \sqrt{3} }$

возвращаемся к исходной переменной:
$tg2x = \sqrt{3}$
$tg2x = \frac{1}{ \sqrt{3} }$

$2x = \frac{ \pi }{3} + \pi n$
$2x = \frac{ \pi }{6} + \pi n$

$x= \frac{ \pi }{6} + \frac{ \pi n}{2}$
$x= \frac{ \pi }{12} + \frac{ \pi n}{2}$

далее делаем перебор по параметру n:
n = 0, $x_{1} = \frac{ \pi }{6}, x_{2} = \frac{ \pi }{12}$
оба корня удовлетворяют условию x ∈ [-1;1]
n = 1, $x_{1} = \frac{ \pi }{6} + \frac{ \pi }{2} = \frac{2 \pi }{3} , x_{2} = \frac{ \pi }{12} + \frac{ \pi }{2} = \frac{7 \pi }{12}$ 
оба корня НЕ удовлетворяют условию, далее проверять положительные значения n не имеет смысла
n = -1, $x_{1} = \frac{ \pi }{6} - \frac{ \pi }{2} = - \frac{ \pi }{3} , x_{2} = \frac{ \pi }{12} - \frac{ \pi }{2} = - \frac{5 \pi }{12}$ 
оба корня меньше -1, дальше отрицательные значения проверять не имеет смысла
ответ: $\frac{ \pi }{6}$ и $\frac{ \pi }{12}$

Answer 2

√3sin²2x-4sin2xcos2x+√3cos²2x=0/cos²2x
√3tg²2x-4tgx+√3=0
tg2x=a
√3a²-4a+√3=0
D=16-12=4
a1=(4-2)/2√3=1/√3⇒tg2x=1/√3⇒2x=π/6+πk⇒x=π/12+πk/2
a2=(4+2)/2√3=√3⇒tg2x=π/3+πk⇒x=π/6+πk/2
k=0⇒x=π/12∈[-1;1] U x=π/6∉[-1;1]
k=1⇒x=π/12+π/2=7π/12∉[-1;1] U x=π/6+π/2=2π/3∉[-1;1]
k=-1⇒x=π/12-π/2=--5π/12∉[-1;1] U x=π/6-π/2=-π/3∉[-1;1]