Question

Доказать, что неравенство $|u|+|v|\ \textless \ w$ равносильно системе

$\left\{ \begin{array}{r} u+v\ \textless \ w\\ u-v\ \textless \ w\\ -u+v\ \textless \ w\\ -u-v\ \textless \ w.\\ \end{array}\right.$

Answer 1

$\displaystyle |v| = \left \{ {{v , \text{ if }v \geq 0} \atop {-v, \text{ if }v\ \textless \ 0}} \right. \\\\ |u| = \left \{ {{u , \text{ if }u \geq 0} \atop {-u, \text{ if }u\ \textless \ 0}} \right.$

Т.е. данное неравенство разбивается на пару случаев:

$\displaystyle 1. u,v \geq 0 \\u+v\ \textless \ w\\\\2.u \geq 0, v\ \textless \ 0\\u-v\ \textless \ 2\\\\3.u\ \textless \ 0,v \geq 0\\-u+v\ \textless \ w\\\\4. u,v\ \textless \ 0\\-u-v\ \textless \ w$

Так как нам нужны все решения. То получаем систему:
$\left\{ \begin{array}{r} u+v\ \textless \ w\\ u-v\ \textless \ w\\ -u+v\ \textless \ w\\ -u-v\ \textless \ w.\\ \end{array}\right.$

Ч.Т.Д.