Question

Помогите решить интеграл

$\alpha \in (0;1)$

Answer 1

$\displaystyle \int\limits^\big{ \frac{\pi}{2} }_0 { \frac{tg^{ \alpha }x}{(\sin x+\cos x)^2} } \, dx =\int\limits^\big{ \frac{\pi}{2} }_0 { \frac{tg^{ \alpha }x}{\cos^2x(tg x+1)^2} } \, dx=\\ \\ \\ =\bigg\{tgx=t\,\,\,\,; \frac{dx}{\cos^2x}=dt\bigg\}= \int\limits^{\infty}_0 { \frac{t^{ \alpha }}{(t+1)^2} } \, dt=\int\limits^{\infty}_0 {t^{ \alpha} (t+1)^{-2}}} \, dt =\\ \\ \\ =\int\limits^{\infty}_0 { \frac{t^{( \alpha +1)-1}}{(t+1)^{ \alpha +1+(1- \alpha ) }} } \, dt=B( \alpha +1, \alpha -1)=$

$\displaystyle = \frac{\Gamma(1+ \alpha )\cdot\Gamma(1- \alpha )}{\Gamma(2)} = \alpha \Gamma( \alpha )\cdot\Gamma(1- \alpha )= \frac{ \alpha \pi }{\sin \alpha \pi }$


Формулы использовались:

$\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)\\ \Gamma(x)\Gamma(x-1)= \dfrac{\pi}{\sin \pi x} ,\,\,\,\,\, 0\ \textless \ x\ \textless \ 1$