Question

В правильной треугольной призме АВСА1В1С1, все ребра которой равны 1. найти косинус угла между прямыми AD1 и CE1, где D1 и Е1 соответственно середины ребра A1C1 и B1C1

Answer 1

Прямые AD1 и CE1 - скрещивающиеся.
Угол между ними можно найти двумя способами:
1- векторным,
2 - геометрическим.

По второму способу находим длины отрезков AD1 и CE1.
Они одинаковы и равны:
 AD1 = CE1 = √(1² + (1/2)²) = √(5/4) = √5/2.
Перенесём отрезок  AD1 точкой D1 в точку E1.
Получим равнобедренный треугольник А2Е1С с основанием СА2, равным высоте равностороннего треугольника в основании призмы.
СА2 = 1*cos 30° = √3/2.
Косинус заданного угла равен косинусу угла А2Е1С. Находим его по теореме косинусов:
cos(А2Е1С) = ((√5/2)²+(√5/2)²-(√3/2)²) / (2*(√5/2)*(√5/2)) =
                    = (7/4)/(5/2) = 7/10 = 0,7.