Question

вычислить приближенно с помощью дифференциала;

1) y=3^корень x^2+x , x=1,004
2) y=x^6 , x=2,95

Answer 1

$1)\,\,\, f(x)= \sqrt[3]{x^2+x} ,\,\,\,\, x=1.004$

Вычислить приближенно будем использовать следующую формулу:
   $f(x_0+зx)\approxf(x_0)+d[f(x_0)]$

Данном примере $x_0=1;\,\,\,\, зx=0.004$

$f(x_0)=f(1)= \sqrt[3]{1^2+1} = \sqrt[3]{2}$

$d[f(x_0)]=f'(x_0)зx$

Вычислим производную функции
$f'(x)=( \sqrt[3]{x^2+x} )'= \frac{1+2x}{3(x^2+x)^{2/3}}$
Значение производной в точке х0=1
$f'(1)= \frac{1+2\cdot1}{3(1^2+1)^{2/3}} = \frac{ \sqrt[3]{2} }{2 }$`

$d[f(1)]= \frac{ \sqrt[3]{2} }{2} \cdot0.04=0.02 \sqrt[3]{2}$

Окончательно имеем, что $f(1.004)\approx \sqrt[3]{2} -0.02 \sqrt[3]{2} =0.98 \sqrt[3]{2}$

Но это не точно приближенно, может условие я не так переписал.

2) $f(x)=x^6,\,\,\,\,\,\,\,\, x=2.95$

в данном случае $x_0=2;\,\,\,\, зx=0.95$

Найдем значение функции в точке х0
$f(x_0)=f(2)=2^6=64$

Вычисляем производную функции
$f'(x)=(x^6)'=6x^5$

Найдем значение производной функции в точке х0
$f'(1)=6\cdot 2^5=6\cdot 32=192$

$d[f(2)]=192\cdot0.95 =182.4$


Окончательно получаем: $f(2.95)\approx64+182.4=246.4$