Question

Исследуйте функцию с помощью производной и постройте эскиз
Графика: y=-x³+12x+6

Answer 1

Дано уравнение y=-x³+12x+6.
1) Самое сложное в этом задании - найти точки пересечения графика с осью Ох. Для этого надо решить кубическое уравнение:
-х³ + 12х + 6 = 0  или, что равно: х³ - 12х - 6 = 0.
Для вычисления корней этого кубического уравнения используем тригонометрическую формулу Виета, которая работает для уравнений вида:  x³+ax²+bx+c=0.
 В нашем случае a=0, b=−12  и c=−6.
Находим $Q= \frac{a^2-3b}{9 }= \frac{0+36}{9} =4.$
$R= \frac{2a^3-9ab+27c}{54} = \frac{0-0-27*6}{54} =-3.$
S = Q³ - R² = 64-9 = 55 > 0 ⇒ имеем 3 вещественных корня.
Находим угол ψ = (1/3)arc cos(R/√(Q³) = (1/3)arc cos (-3/√(4³) = 
 = (1/3)arc cos(-3/8) = (1/3) 1,955193 =  0,651731.
Находим cos ψ =  0,795035.
Теперь находим корни:
x₁ = -2√Q*cos ψ + (2π/3)) - (a/3) = -2*√4*0,795035 - 0 =  -3,18014.
x₂ = -2√Q*cos (ψ + (2π/3)) - (a/3) = -4*(-0,92282) = 3,691268.
x₃ =  -2√Q*cos (ψ - (2π/3)) - (a/3) = -4*0,127782 =  -0,51113.

2) Точка пересечения графика с осью Оу равна значению функции при х = 0. у =6.

3)