Question

В правильной четырехугольной пирамиде sabcd, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А до плоскости scd.

Answer 1

Прямая АВ ║ пл. SCD, т.к.  АВ║CD. Поэтому расстояние oт т. А до плоскости SCD равно расстоянию от  любой точки прямой АВ до этой плоскости, в том числе и от точки М - середины отрезка АВ, до плоскоти SCD. 
ΔSCD:  проведём медиану SN , SN также высота ΔSCD, SN⊥CD.
ΔSMN - равнобедренный, SM=SN как медианы равных треугольников SAB и SCD.
 MH - высота ΔSMN , MH⊥SN .
CD⊥SN и CD⊥MN , SN и MN  пересекаются, принадлежат пл. SMN ⇒
CD⊥ плоскости SMN  ⇒ CD⊥ MH , лежащей в пл. SMN .
MH - перпендикуляр к плоскости SCD.
Значит, MH - расстояние от АВ до пл. SCD .
Точка О - центр основания АВСD.
ΔAOS - прямоугольный:
 
 $SO=\sqrt{AS^2-AO^2}=\sqrt{1-(\frac{\sqrt2}{2})^2}=\frac{\sqrt2}{2}$

$S(\Delta SMN)= \frac{1}{2} \cdot SN\cdot MH= \frac{1}{2}\cdot MN\cdot SO\; \; \; \Rightarrow \\\\MH= \frac{MN\cdot SO}{SN} = \frac{1\cdot \frac{\sqrt2}{2}}{\frac{\sqrt3}{2}} =\sqrt{ \frac{2}{3}}$