Question

log₂(25ˣ⁺³-1)=2+log₂(5ˣ⁺³+1)
Можно ли в такой ситуации вынести степени в множитель ? Т.е. получить
(x+3)*log₂(25-1)=2+(x+3)*log₂(5+1)
А если нет, то как это решать?

Answer 1

нет это извините полная фигня написана
посмотрите логарифмы и их свойства
Log₂(25ˣ⁺³-1)=2+log₂(5ˣ⁺³+1)
Log₂(5²⁽ˣ⁺³⁾-1)=log₂2²+log₂(5ˣ⁺³+1)
Log₂(5²⁽ˣ⁺³⁾-1)=log₂4*(5ˣ⁺³+1)
одз 25ˣ⁺³>1 25ˣ⁺³>25⁰ x+3>0 x>-3
5²⁽ˣ⁺³⁾-1 = 4*(5ˣ⁺³+1)
5ˣ⁺³=t t>0
t² - 1 = 4*(t + 1)
t² - 1 = 4t + 4
t² - 4t - 5 =0
D=16 + 20 = 36 = 6²
t₁₂=(4+-6)/2=-1 5
-1 не проходит t>0
t=5 да корень
5ˣ⁺³=5
x+3=1
x=-2
ответ x=-2

Answer 2

нельзя, у Вас не все логарифмируемое выражение возведено в степень.

логарифмируем все по основанию 2:
ОДЗ: $((5^2) ^{x+3} -1) \ \textgreater \ 0; (5 ^{x+3} +1) \ \textgreater \ 0; 5 ^{x+3} \ \textgreater \ 0$
$log _{2} ((5^2) ^{x+3} -1) = log _{2}4 +log _{2} (5 ^{x+3} +1)$
$log _{2} ((5^2) ^{x+3} -1) = log _{2}(4*(5 ^{x+3} +1) =$$log _{2}((5^2) ^{x+3} -1) = log _{2}$
$((5^2) ^{x+3} -1) = log _{2}(4*5 ^{x+3} +4)$
делаем замену переменной:
$5 ^{x+3} = a$
$a^2-4a-5=0$
$D= 6^2$
$x_{1} = \frac{4+6}{2} = 5$
$x_{2}= \frac{4-6}{2} = -1$ 
обратная замена:
$5 ^{x+3} = 5$
$5 ^{x+3} = -1$ - невозможно

$5 ^{x+3} = 5; 5 ^{x+3} = 5^1$
$x+3 =1$
$x = -2$