Question

Cos6x+cos5x=sinx найти корни

Answer 1

Ответ:

$\pi +2\pi n; -\frac{\pi }{10} +\frac{2\pi k}{5} ; \frac{\pi }{12} +\frac{\pi m}{3} ,~n,k,m\in\mathbb {Z}} .$

Объяснение:

$cos6x+cos5x=sinx.$

Воспользуемся формулой и преобразуем левую часть уравнения

$cos\alpha +cos\beta = 2cos\frac{\alpha +\beta }{2} *cos\frac{\alpha-\beta }{2}$

$2cos(5,5x)*cos(0,5x) -sinx=0.$

Разложим sinx по формуле двойного угла

$2cos(5,5x)*cos(0,5x) -2sin(0,5x)*cos(0,5x)=0;\\2cos(0,5x)(cos(5,5x)-sin(0,5x))=0;$

Воспользуемся формулами приведения и представим

$sin(0,5x) = cos( \frac{\pi }{2} -0,5x)$

$2cos(0,5x)(cos(5,5x)-cos(\frac{\pi }{2}-0,5x ))=0;\\\\2cos(0,5x)*(-2 sin(2,5x+\frac{\pi }{4} )*sin(3x-\frac{\pi }{4} ))=0;\\\\-4cos(0,5x)* sin(2,5x+\frac{\pi }{4} )*sin(3x-\frac{\pi }{4} )=0|:(-4);\\\\cos(0,5x)* sin(2,5x+\frac{\pi }{4} )*sin(3x-\frac{\pi }{4} )=0$

$\left [\begin{array}{lcl} { {cos(0,5x )= 0,} \\\\ {sin(2,5x+\frac{\pi }{4} )=0,} \\\\ {sin(3x-\frac{\pi }{4} )= 0;} }\end{array} \right.\Leftrightarrow \left [\begin{array}{lcl} { {0,5x = \frac{\pi }{2} +\pi n,~n\in\mathbb {Z},}\\ \\ {2,5x+\frac{\pi }{4} =\pi k,~k\in\mathbb {Z},} \\\\{3x-\frac{\pi }{4} = \pi m,~m\in\mathbb {Z}}; }\end{array} \right. \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\left [\begin{array}{lcl} { {x = \pi +2\pi n,~n\in\mathbb {Z}, } \\\\ {5x= -\frac{\pi }{2} +2\pi k, ~k\in\mathbb {Z},} \\\\ {3x = \frac{\pi }{4} +\pi m,~m\in\mathbb {Z}} ;}\end{array} \right.\Leftrightarrow\Leftrightarrow\left [\begin{array}{lcl} { {x = \pi +2\pi n,~n\in\mathbb {Z}, } \\\\ {x= -\frac{\pi }{10} +\frac{2\pi k}{5} , ~k\in\mathbb {Z},} \\\\ {x = \frac{\pi }{12} +\frac{\pi m}{3} ,~m\in\mathbb {Z}} .}\end{array} \right.$