Question

Меньший катет прямоугольного треугольника=4.Окружность радиуса 3 с центром на гипотенузе касается большого катета и проходит через вершину противоположного угла.Найдите гипотенузу

Answer 1

Пусть АВС - прямоугольный треугольник. ∠С=90°, АВ - гипотенуза.
О-центр окружности r=3. Е-точка касания, М и К - точки пересечения сторон.
По свойству касательной к окружности ОЕ⊥АС, ОЕ=r=3.
Т.к. ОЕ⊥АС и ВС⊥АС, то ОЕ||ВС.
ΔАЕО и АСВ подобны по двум углам (∠С=∠О=90° и ∠1=∠2-накрест лежащие). Отсюда $\frac{EO}{CB} = \frac{AO}{AB}$
Пусть AM=x, тогда АО=х+3, AB=x+3+3=x+6
$\frac{3}{4} = \frac{x+3}{x+6}$
3x+18=4x+12
x=6
АВ = х+6 = 6+6 =12.
Ответ: 12.