Question

Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если известно что отношение радиуса описанной около этого треугольника окружности к радиусу вписанной в него окружности равно 1+корень из 3

Answer 1

Пусть a, b - катеты, с - гипотенуза, R - радиус описанной окружности, r - радиус вписанной окружности.

В прямоугольном треугольнике гипотенуза является диаметром описанной окружности, т.е. 
$R = \dfrac{1}{2}c$
Или (по теореме Пифагора):
$\sqrt{a^2 + b^2} = 2R$

Радиус вписанной окружности связан со сторонами прямоугольного треугольника следующим соотношением:
$r = \dfrac{a + b - c}{2}$
Или (по теореме Пифагора):
$r = \dfrac{a + b - \sqrt{a^2 + b^2} }{2}$

Объединим две формулы с условием и получим:
$\dfrac{ \dfrac{ \sqrt{a^2 + b^2}} {2}} { \dfrac {a + b - \sqrt{a^2 + b^2}}{2} } = \sqrt{3} + 1 \\ \\ \\ \dfrac{ \sqrt{a^2 + b^2}}{a + b - \sqrt{a^2 + b^2}} = \sqrt{3} + 1 \\ \\ ( \sqrt{3} + 1)(a + b) - \sqrt{3} \sqrt{a^2 + b^2} - \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{a^2 + b^2} \\ \\ ( \sqrt{3} + 1)(a + b) = (2 + \sqrt{3}) \sqrt{a^2 + b^2}$

Теперь возведём в квадрат:
$( \sqrt{3} + 1)(a + b) = (2 + \sqrt{3}) \sqrt{a^2 + b^2} \\ \\ (3 + 2 \sqrt{3} + 1)(a^2 + 2ab + b^2) = (4 + 4 \sqrt{3} + 3)(a^2 + b^2) \\ \\ (4 + 2 \sqrt{3} )(a^2 + 2ab + b^2) = (7 + 4 \sqrt{3})(a^2 + b^2) \\ \\ 4a^2 + 8ab + 4b^2 + 2 \sqrt{3} a^2 + 4 \sqrt{3} ab + 2 \sqrt{3}b^2 = 7a^2 + 7b^2 + 4 \sqrt{3}a^2 + \\ + 4 \sqrt{3}b^2 \\ \\ 3a^2 + 3b^2 + 2 \sqrt{3} a^2 + 2 \sqrt{3} b^2 - 8ab - 4 \sqrt{3} ab = 0$

Сгруппируем:
$3a^2 + 3b^2 + 2 \sqrt{3} a^2 + 2 \sqrt{3} b^2 - 8ab - 4 \sqrt{3} ab = 0 \\ \\ (3 + 2 \sqrt{3})a^2 - ab(8 + 4 \sqrt{3}) + (2 \sqrt{3} + 3)b^2 = 0$

Разделим на b²:
$(3 + 2 \sqrt{3}) \dfrac{a^2}{b^2} - (8 + 4 \sqrt{3})\dfrac{a}{b} + (2 \sqrt{3} + 3) = 0$

Сделаем замену. 
Пусть $t = \dfrac{a}{b}$
$(2 \sqrt{3} + 3) t^2 - (8 + 4 \sqrt{3})t + (2 \sqrt{3} + 3) = 0 \\ \\ D = (8 + 4 \sqrt{3})^2 - 4 \cdot (3 + 2 \sqrt{3})^2 = (8 + 4 \sqrt{3} - 6 - 4 \sqrt{3}) \cdot \\ \cdot (8 + 4 \sqrt{3} + 6 + 4 \sqrt{3})= 4(7+ 4 \sqrt{3}) \\ \\ t_1 = \dfrac{8 + 4 \sqrt{3} + \sqrt{4(7+ 4 \sqrt{3})} }{2(2 \sqrt{3} + 3)} = \dfrac{4 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{7+ 4 \sqrt{3}} }{2 \sqrt{3} + 3}$
$t_2 = \dfrac{8 + 4 \sqrt{3} - \sqrt{4(7+ 4 \sqrt{3})} }{2(2 \sqrt{3} + 3)} = \dfrac{4 + 2 \sqrt{3} - \sqrt{7+ 4 \sqrt{3}} }{2 \sqrt{3} + 3}$

Обратная замена:
Отношения a/b есть тангенсы острых углов. Тогда острые углы равны арктангенсам данных углов:
$A = arctg\dfrac{4 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{7+ 4 \sqrt{3}} }{2 \sqrt{3} + 3} = arctg \dfrac{4 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{4+ 4 \sqrt{3} + 3} }{2 \sqrt{3} + 3 }= \\ \\ = arctg \dfrac{4 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{(2 + \sqrt{3}})^2 }{2 \sqrt{3} + 3 } = arctg\dfrac{6 + 3 \sqrt{3} }{2 \sqrt{3} + 3} = \\ \\ = arctg \sqrt{3} \dfrac{2 \sqrt{3} + 3 }{2 \sqrt{3} + 3 } = arctg \sqrt{3} = 60^{\circ} \\ \\ B = 90^{\circ} - A = 30^{\circ} \\ \\ OTBET: 30^{\circ}; \ 60^{\circ}$

Answer 2

Решение прицеплено в картинке