Question

Помогите решить 2 номера. Максимально подробно.

Answer 1

7. На возрастание и убывание функция исследуется с помощью производной. Берётся первая производная, приравнивается нуля, решается полученное уравнение относительно икса, наконец, определяются интервалы, на которых производная меньше и больше нуля.

Приступим. Берём производную. Здесь надо знать правило дифференцирования степенной функции: (x^n) = n * (x^(n-1)).
y = (1/3) * x^3 - 7 * x^2 + 42 * x + 4
y' = x^ 2 - 14 * x + 42

Приравниваем производную нулю и решаем уравнение (квадратное):
y' = x^2 - 14 * x + 42 = 0
Решается обычно, с помощью дискриминанта, привожу сразу результат:
x1 = 7 - √7; x2 = 7 + √7

Итак, определилось три интервала
1) от минус бесконечности до x1: (-∞; 7 - √7)
2) от x1 до x2: (7 - √7; 7 + √7)
3) от x2 до плюс бесконечности (7 + √7; +∞)

А теперь, главное, правильно определить, на каком интервале первая производная меньше нуля, а на каком - больше. Для этого поступаю просто. Беру какое-нибудь число из соответствующего интервала, желательно такое, чтобы вычисления были несложные.

Так из первого интервала (-∞; 7 - √7) возьмём 0, который подставляем в выражение первой производной y'(0) = 0^2 - 14 * 0 + 42 > 0. Выяснили, в первом интервале производная больше нуля. А это означает, что функция y на данном интервале возрастает.

Проверяем второй интервал (7 - √7; 7 + √7). Здесь сложнее выбрать значение принадлежащем интервалу из-за √7. Но тут надо прикинуть, какое число принадлежит данному интервалу. В этом интервале будет 5. Подставляем: y(5) = 5^2 - 14 * 5 + 42 = -3 < 0. На этом интервале первая производная меньше нуля, значит, функция y здесь убывает.

Третий интервал (7 + √7; +∞). Можно взять число 10, оно входит в интервал: y(10) = 10^2 - 14 * 10 + 42 = +2 > 0. Первая производная больше нуля, значит, на этом интервале функция y возрастает.

8. Площадь фигуры вычисляется с помощью определённого интеграла. Снизу фигура ограничена осью абсцисс (прямая y = 0), слева ограничена вертикальной прямой, проходящей через точку x=1 (прямая x = 1), справа - вертикальной прямой, проходящей через точку x=4 (прямая x = 4). Наконец, сверху фигура ограничена графиком функции f(x) = 2/x + 2.

Берём интеграл. Сначала неопределённый.
F(x) = ∫ f(x) dx = ∫(2/x + 2) dx = 2 * ln (x) + 2 * x + C
Определённый интеграл вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница:
b
∫  f(x) dx = F(b) - F(a), где F(x) - одна из первообразных, а мы её уже
a
нашли (см. неопределённый интеграл).
Пределы интегрирования от x1=1 до x2=4, т.е. в формуле это будет:
b = x2 = 4; a = x1 = 1

4                                          
∫  (2/x + 2) dx = F(4) - F(1) = 2 ln(4) + 2*4 - (2 ln(1) + 2*1) =
1                                          

= ln(4^2) + 8 - (0 + 2) = ln(16) + 8 - 2 = ln(16) + 6

Если надо довести до какого-то значения, то это можно только приблизительно:
ln(16) + 6 ≈ 10,773

Answer 2

7
y`=x²-14x+42
x²-14x+42=0
D=196-168=28
x1=(14-2√7)/2=7-√7
x2=7+√7
            +                      _                 +
---------------(7-√7)--------------(7+√7)--------------------
возр                    убыв                   возр
8
Фигура ограничена сверху гиперболой, а снизу осью ох.
$S= \int\limits^4_1 {(2/x +2)} \, dx =2lnx+2x|^4_1=2ln4+8-ln1-2=4ln2+6$