Question

При каких значениях параметра a уравнение
a*x^2+(2a-4)x+a=0
имеет два различных решения больших или равных a ?

Answer 1

Найдем дискриминант квадратного уравнения

$D=(2a-4)^2-4a^2=(2a-4-2a)(2a-4+2a)=16(1-a)\\ \sqrt{D} =4 \sqrt{1-a}$

$x=\dfrac{4-2a\pm4\sqrt{1-a} }{2a} = \dfrac{2-a\pm2\sqrt{1-a} }{a}= \\ \\ \\ = \dfrac{(\sqrt{1-a} )^2\pm2\sqrt{1-a} +1}{a}= \dfrac{(\sqrt{1-a} \pm 1)^2}{a}$

По условию, нужно найти два различных решений больших или равных а.

$x \geq a\\ \\ \dfrac{(\sqrt{1-a} \pm1)^2}{a} \geq a$

ОДЗ: $\displaystyle \left \{ {{1-a \geq 0} \atop {a\ne 0}} \right. \Rightarrow \left \{ {{a \leq 1} \atop {a \neq 0}} \right.$
  
$(\sqrt{1-a} \pm 1)^2 \geq a^2\\ \\ (\sqrt{1-a} \pm 1)^2-a^2 \geq 0\\ \\ (\sqrt{1-a} \pm1-a)(\sqrt{1-a} \pm 1+a) \geq 0$

$a \in (-\infty;-3]\cup(0;1]$ - решение для неравенства $(\sqrt{1-a} +1-a)(\sqrt{1-a} + 1+a) \geq 0$ с учетом ОДЗ

$a \in (-\infty;0)$ - решение неравенства $(\sqrt{1-a} -1-a)(\sqrt{1-a} -1+a) \geq 0$ с учетом ОДЗ

Общее: $a \in (-\infty;-3]$


Ответ: $a \in (-\infty;-3]$