Question

sin x + cos x = 1 - sin 2x

Answer 1

$sinx+cosx =1-sin2x\,\,|^2\\(sinx+cosx)^2=(1-2sinxcosx)^2\\sin^2x+2sinxcosx+cos^2x=1-4sinxcosx+4sin^2xcos^2x\\sin^2x+2sinxcosx+cos^2x=sin^2x+cos^2x-4sinxcosx+4sin^2xcos^2x\\2sinxcosx+4sinxcosx-4sin^2xcos^2x=0\\6sinxcosx-4sin^2xcos^2x=0\\2sinxcosx(3-2sinxcosx)=0\\2sinxcosx(3-sin2x)=0\\2sinxcosx=0\,\,\,\,\,\,our\,\,\,\,\,\,\boxed{sin2x=3-neyd.ysl. \,\,(|3| \geq 1)}\\sin2x=0\\2x=\pi*k,k\in\mathbb{Z}\\x= \frac{\pi}{2}*k,k\in\mathbb{Z}$

Answer 2

$\sin x+\cos x=1-\sin2x\\ \\ \sin x+\cos x=1+\sin2x-2\sin2x\\ \\ \sin x+\cos x=(\sin x+\cos x)^2-2\sin2x$

Пусть $\sin x+\cos x=t\,\, (|t|\leq \sqrt{2})$, тогда возведя обе части в квадрат, получим
$1+\sin2x=t^2$ откуда $\sin2x=t^2-1$

Имеем

$t=t^2-2\cdot(t^2-1)\\ \\ t=t^2-2t^2+2\\ \\ t^2+t-2=0$

по т. Виета

$t=-2$ - не удовлетворяет условию
$t=1$

Обратная замена

$\sin x+\cos x=1\\ \sqrt{2}\sin( x+ \frac{\pi}{4} )=1\\ \\ \sin(x+\frac{\pi}{4} )= \frac{1}{\sqrt{2} } \\ \\ \boxed{x=(-1)^k\cdot \frac{\pi}{4} -\frac{\pi}{4} + \pi k,k \in Z}$