Question

При каких значениях параметра а уравнение
2lg (x+3) = lg (ax)
имеет единственное решение?

Answer 1

Рассмотрим ОДЗ: 
$\begin {cases} x+3\ \textgreater \ 0 \\ ax\ \textgreater \ 0 \end {cases} \Leftrightarrow \begin {cases} x\ \textgreater \ -3 \\ ax\ \textgreater \ 0 \end {cases} \Rightarrow \left[ \begin{matrix} \begin {cases} x\ \textgreater \ -3 \\ a\ \textless \ 0 \\ x\ \textless \ 0 \end {cases}\\ \\ \begin {cases} x\ \textgreater \ -3 \\ a\ \textgreater \ 0 \\ x\ \textgreater \ 0 \end {cases} \end{matrix}\right \Rightarrow \left[ \begin{matrix} \begin {cases} a\ \textless \ 0 \\ -3\ \textless \ x\ \textless \ 0 \end {cases}\\ \\ \begin {cases} a\ \textgreater \ 0 \\ x\ \textgreater \ 0 \end {cases} \end{matrix}\right$
$\lg(x+3)^2= \lg(ax)\\ x^2+6x+9=ax\\ x^2+(6-a)x+9=0$
Данное квадратное уравнение имеет единственное решение при условии, что его дискриминант равен 0.
D = (6-a)²-36 = 36-12a+a²-36 = a²-12a = a(a-12)
D = 0 при а=0 или а=12.
Из ОДЗ следует, что а≠0. Значит, а = 12.
Ответ: 12.