Question

тригонометрическое уравнение

Answer 1

Пусть sin x + cos x = t.
Возведем обе части в квадрат: (sin x + cos x)² = t²
sin²x+2sinxcosx+cos²x = t²
1+sin2x = t²
sin2x = t²-1
Подставим в исходное уравнение, получим:
t = 1 - (t²-1)
t² + t - 2 = 0
t = -2 или t = 1
Вернемся к х:
1) sin x + cos x = -2 не имеет решений, т.к. |sinx|≤1 и |cosx|≤1
то есть для выполнения равенства необходимо, чтобы при некоторых х sinx=cosx=-1. это не возможно (если при некотором х |sinx|=1, то тогда же и |cosx|=0 и наоборот)
2) sin x + cos x = 1
$\frac{ \sqrt{2} }{2} sinx+ \frac{ \sqrt{2} }{2} cosx= \frac{ \sqrt{2} }{2}\\ sin\frac{ \pi }{4}cosx+cos\frac{ \pi }{4}sinx= \frac{ \sqrt{2} }{2}\\ sin(\frac{ \pi }{4}+x)= \frac{ \sqrt{2} }{2}\\ \frac{ \pi }{4}+x=(-1)^n*\frac{ \pi }{4}+ \pi n\\ x=(-1)^n*\frac{ \pi }{4}-\frac{ \pi }{4}+ \pi n\\ x=((-1)^n-1)*\frac{ \pi }{4}+ \pi n,\ n \in Z.$
Ответ: $((-1)^n-1)*\frac{ \pi }{4}+ \pi n,\ n \in Z.$