Question

Добрый день. Интересует не решение (с этим кое-как разобрался), а то, как понять часть "на отрезке n..." и определиться с ответом.
P.S.: Вышло x=arctg(10/4)+π*n, n принадлежит Z;
x=π/4+π*n, n принадлежит Z.

Варианты ответа:
x=π/4±π*n на отрезке n от -100→500
x=π*4±π*n на отрезке n от 0→100
x=π*4±π/n на отрезке n от -300→0
x=π/4±π*n на отрезке n от 0→∞

Answer 1

Решения, которые получилось у вас, помимо прочего содержат множество чисел {π/4+π*n, n∈Z}. Это множество можно записать в виде объединения  двух подмножеств {π/4+π*n, n=0,1,2,...}∪{π/4-π*n, n=0,1,2,...}. Т.е. отдельно по положительным n, и по отрицательным n (тут n=0 включено в оба множества, но это не влияет на конечное объединение). Кратко все это можно записать как x=π/4±π*n, где n=0,1,2,... Это как раз соответствует 4-му пункту на картинке в условии. Т.е. фраза "на отрезке n от 0->∞" означает, что n пробегает все неотрицательные целые числа от 0 до +∞.

P.S. Если решить уравнение на картинке (поделив на cos²(x)), то получим уравнение 2tg²(x)-3tg(x)-5=0, которое дает корни -π/4+π*n, n∈Z и arctg(5/2)+π*n, n∈Z. Т.к. в условии говорится про решения π/4+π*n, то скорее всего, в уравнении есть опечатка. Возможно, должно быть 2sin²(x)+3sin(x)cos(x)-5cos²(x)=0. Ну, или, если не это, то в списке решений должно быть -π/4±π*n. Тогда тоже все будет верно.