Question

Докажите, что при любых значениях переменных справедливо неравенство:
$\bigg ( \dfrac{a + b + +c}{3} \bigg )^2 \geq \dfrac{ab + ac + bc}{3}$

Answer 1

Воспользуемся неравенством
$(a-b)^2 \geq 0$
$a^2+b^2 \geq 2ab$

$\displaystyle\frac{1}{2} (2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc)=\\ \\= \frac{1}{2} ((a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2)=\frac{1}{2}(a-b)^2+\frac{1}{2}(a-c)^2+\frac{1}{2}(b-c)^2\geq0$

отсюда следует, что 

$a^2+b^2+c^2 \geq ab+ac+bc$

Следовательно $\bigg(\dfrac{a+b+c}{3} \bigg)^2 \geq \dfrac{ab+ac+bc}{3}$

Answer 2

(a+b+c)^2 = a^2 +b^2 +c^2 +2ab +2ac +2bc
--
[(a +b +c)/3]^2 >= (ab +ac +bc)/3 <=>
[a^2 +b^2 +c^2 +2(ab +ac +bc) -3(ab +ac +bc)]/9 >=0 <=>
a^2 +b^2 +c^2 -ab -ac -bc >=0 <=>
2(a^2 +b^2 +c^2 -ab -ac -bc) >=0 <=>
(a-b)^2 +(a-c)^2 +(b-c)^2  >=0
Квадрат действительного числа всегда больше или равен нулю.