Question

Доказать неравенство при n ∈ N

Answer 1

Воспользуемся неравенством Коши

$\displaystyle \frac{1}{n} \bigg( \frac{n+1}{n} +\frac{n+2}{n+1} +...+\frac{2n}{2n-1} \bigg)\ \textgreater \ \sqrt[n]{ \frac{n+1}{n}\cdot \frac{n+2}{n+1}\cdot...\cdot \frac{2n}{2n-1} } =\sqrt[n]{2}$

Что и требовалось доказать

Answer 2

Неравенство Коши — Буняковского :