Question

Докажите что любой член последовательности заданный формулой xn=4*6^(n)+5n-4 делится на 25

Answer 1

по формуле n члена находим, что x1=25, значит x1 делится на 25.
Допустим, что $x_k=4*6^{k}+5k-4$ делится на 25 и докажем, что $x_{k+1}=4*6^{k+1}+5(k+1)-4$ также делится на 25:
так как $x_k$ делится на 25, то $4*6^{k}+5k-4=25p$, где p∈Z.
преобразуем:
$4*6^{k}+5k-4=25p \\4*6^{k}=25p-5k+4$
тогда:
$x_{k+1}=4*6^{k+1}+5(k+1)-4 \\x_{k+1}=6*4*6^{k}+5(k+1)-4 \\x_{k+1}=6*(25p-5k+4)+5(k+1)-4= \\=150p-30k+24+5k+5-4=150p-25k+25$
данная сумма делится на 25, следовательно при любом натуральном n каждый член данной последовательноси будет делится на 25.