Question

В окружности проведён диаметр AB, C - произвольная точка окружности, J - центр вписанной в ABC окружности. Какую линию описывает точка J, когда C пробегает все точки окружности, отличные от A и B?

ниже следует ответ человека, который по некоторым причинам смог написать его только в комментариях, прикрепляю для других нуждающихся
________________________________
Если С1 - середина дуги AB, не содержащей точку C (еще раз - НЕ содержащей), то центр J "описывает" окружность с центром в C1 и радиусом AC1 2:24 23.07.2017 Ну, если нужно доказательство этого известного факта, то все это потому, что ∠C1AJ = ∠C1JA = (∠A + ∠C)/2; ∠A и ∠C углы треугольника ABC. В таком виде это равенство сразу видно, если правильно нарисован чертеж. Ну, значит, треугольник C1AJ равнобедренный, C1A = C1J; Это очень полезная задача, её результат используется при выводе формулы Эйлера для треугольника. То есть это маленький шажочек в сторону теоремы Понселе.

Answer 1

Рискну, все-таки, представить решение.
Возьмем произвольную точку С на окружности (O;R).
Треугольник АВС - прямоугольный, так как опирается на диаметр.
Точка J -  центр вписанной в этот треугольник окружности - лежит на пересечении биссектрис углов треугольника АВС.
Проведем прямую СJ до пересечения с описанной  окружностью (O;R).
Точка пересечения D - конец диаметра, так как вписанный
<DCB=45° и центральный угол DОВ=90° (при любом положении точки С, исключая точки А и В, так как в этом случае треугольник АВС вырождается).
Заметим, что <AJD=(<A+<C)/2, как внешний угол треугольника ACJ.
Проведем прямую АJ до пересечения с описанной  окружностью (O;R).
<BAC1=(1/2)*<A, <DAB=(1/2)*<C (вписанный, опирающийся на одну дугу, что и <DCB). Значит <DAC1=<DAJ=(<A+<C)/2, треугольник DAJ равнобедренный и АD=DJ.  И это, как уже отмечалось, при ПРОИЗВОЛЬНОМ положении точки С на окружности, исключая точки А и В.
Следовательно, точка J описывает дугу окружности радиуса R√2 c центрами в точках D и E ( в зависимости от расположения точки С относительно диаметра АВ).