Question

найдите наименьшее значение функции y=11x-ln (x+15)11

Answer 1

Ответ:

–154

Пошаговое объяснение:

Условие задачи (в силу комментариев):

Найдите наименьшее значение функции y=11·x–ln(x+15)¹¹ на отрезке [–14,5; 0].

1. Область допустимых значений функции

x+15>0 ⇔ x>–15 ⇔ x∈(–15; +∞)

[–14,5; 0] ⊂ (–15; +∞).

Преобразуем функцию на основе тождества logₐbⁿ=n·logₐb:

y=11·x–ln(x+15)¹¹=11·x–11·ln(x+15).

2. Вычислим производную от функции$\displaystyle y'=(11 \cdot x-11 \cdot ln(x+15))'=11 \cdot (x)'-11 \cdot (ln(x+15))'=11-11 \cdot \dfrac{1}{x+15}$ 3. Определим критические точки функции на заданном отрезке:

$\displaystyle y'=0 \Leftrightarrow 11-11 \cdot \dfrac{1}{x+15}=0 \Leftrightarrow 1- \dfrac{1}{x+15}=0 \Leftrightarrow \\\\\Leftrightarrow x+15=1 \Leftrightarrow x =-14 \in [-14,5; 0].$

4. Вычислим значения функции при x= –14,5, x= –14; x =0:

y(–14,5)=11·(–14,5)–11·ln(–14,5+15)=–159,5–11·ln0,5=11·ln2–159,5;

y(–14)=11·(–14)–11·ln(–14+15)=–154–11·ln1=–154–11·0=–154;

y(0)=11·0–11·ln(0+15)=0–11·ln15= –11·ln15.

5. Сравним числа и определим наименьшее из значений.

Так как e<4, то 1=lne<ln4 и ln4–1>0. Поэтому

y(–14,5)–y(–14)=11·ln2–159,5–(–154)=11·ln2–159,5+154=11·ln2–5,5=

=11·ln2–11·0,5=11·(ln2–0,5)=5,5·(2·ln2–2·0,5)=5,5·(ln4–1)>0. Отсюда

y(–14,5)>y(–14).

Далее, ln15<ln16=ln2⁴<lne⁴=4·lne=4, то –11·ln15>–11·4=–44.

–154 < 11·ln2–159,5 < 11·lne–159,5 < 11–159,5=–148,5 < –44 < –11·ln15.

Значит, наименьшее значение функции y(–14)= –154.