Question

Вычислить предел функции $\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x}-1}{ln(1+2x)}$

Answer 1

Эквивалентность функций:
   $e^{2x}-1\sim2x,\,\,\,\, x\to 0\\ \ln(1+2x)\sim 2x,\,\,\,\,\,\, x\to0$

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x}-1}{\ln(1+2x)} =\lim_{x \to 0} \frac{2x}{2x} =1$


Ответ: 1.

Answer 2

$\lim_{x \to 0} {e^{2x}-1\over ln(1+2x)}$
Неопределенность типа 0/0
Пытаемся применить правило Лопиталя:
$\lim_{x \to 0} (e^{2x}-1) = \lim_{x \to 0} ln(1+2x) = 0$ - существуют пределы числителя и знаменателя при x стремящемся к 0, равные 0
$(e^{2x}-1)'=2e^{2x}\\(ln(1+2x))'={2\over 2x+1}$ - числитель и знаменатель дифференцируемы, причем в некоторой окрестности 0 производная знаменателя отлична от 0 (здесь положительна)
$\lim_{x \to 0} {(e^{2x}-1)' \over (ln(1+2x))' } = \lim_{x \to 0} {2e^{2x} * (2x+1) \over 2 } = 1$ - предел отношения производных существует, а значит равен пределу исходной функции

$\lim_{x \to 0} {e^{2x}-1\over ln(1+2x)} = \lim_{x \to 0} {(e^{2x}-1)' \over (ln(1+2x))' } = 1$