Question

ОЧЕНЬ СРОЧНО ПОЖАЛУЙСТА!!!

1) В треугольнике ABC точка N является серединой медианы AM. Прямая CN пересекает отрезок AB в точке P. Найдите AP:BP. Ответ запишите в виде ДЕСЯТИЧНОЙ дроби.

2) На стороне BC треугольника ABC взяли такую точку A1, что BA1:A1C=2:3, а на отрезке AA1 — такую точку M, что AM:MA1=3:1. Пусть прямая CM пересекает отрезок AB в точке C1. Найдите AC1/BC1. Ответ запишите в виде ДЕСЯТИЧНОЙ дроби.

3) Дан треугольник ABC и такая точка D на продолжении отрезка AC за точку A, что DA:AC=1:4. Пусть M — середина отрезка AB. Найдите BN/NC, где N — точка пересечения прямых DM и BC.

Answer 1

в треугольнике АВС известны стороны АВ=7, ВС=10, АС=8. окркжность, проходящая через точки А иС, пересекает прямые ВА и ВС соответственно в точках K и L, отличных от вершин треугольника. отрезокKLкасается окружности, вписанной в треугольникАВС. найдите длину отрезка KL.

Так значит сначала обозначим О центр вписанной в треуг.окруж.Обозначим точки касания вписанной окружностью М - со стороной АВ,Р-со стороной ВС,и-точно так - же точку касания с KL обозначим N.Из-за того,что АСKL-вписанный четырехугольник,угол KLC + угол ВАС = 180 градусов, но угол BLK + угол KLC = 180 градусов, поэтому угол BLK = угол ВАС. Поэтому треугольник ВКL подобен АВС. Обозначим BM = BP = x; АМ = АК = y; CK = CP = z - отрезки, на которые делят стороны точки касания вписанной окружности.x + y = 7;y + z = 8;x + z = 10;x - y = 2; 2*x = 9; нам понадобится именно эта величина, остальное считать не будем. Периметр треугольника BKL равен 2*x = 9; поскольку KM = KN и NL = LP, поэтому BK + KL + BL = BK + KN + NL + BL = MB + BP = 2*xИз того, что BKL подобен АВС, следует, что BL = KL*7/8; BK = KL*10/8, периметр равен KL*25/8; Поэтому KL*25/8 = 9; KL = 72/25;