Question

Помогите решить уравнение

Answer 1

Умножив обе части уравнения на $(2- \sqrt{3} )(2+\sqrt{3})^{x^2-2x}\ \textgreater \ 0$, придем к уравнению вида $(2+\sqrt{3})^{2(x^2-2x)}-4\cdot(2+\sqrt{3})^{x^2-2x}+1=0$
пусть $(2+\sqrt{3})^{x^2-2x}=t$, при условии, что t>0, получим:
$t^2-4t+1=0$. Представим левую часть уравнения в виде $(t-2)^2-3=0.$ тогда $t-2=\pm\sqrt{3}$  откуда   $t=2\pm\sqrt{3}$

Обратная замена

$(2+\sqrt{3})^{x^2-2x}=2+\sqrt{3}$ отсюда $x^2-2x=1$. Снова представим левую часть уравнения в виде $(x-1)^2-1=1.$ тогда  $x-1=\pm\sqrt{2}$   откуда   $x_{1,2}=1\pm\sqrt{2}$

$(2+\sqrt{3})^{x^2-2x}=2-\sqrt{3}$. Умножим числитель и знаменатель на $2+\sqrt{3}$ в правой части уравнения, получим $(2+\sqrt{3})^{x^2-2x}=(2+\sqrt{3})^{-1}.$  

Тогда $x^2-2x+1=0$    ⇒    $(x-1)^2=0$    откуда  $x_3=1$


Ответ: $1-\sqrt{2};\,\,\, 1;\,\,\,\, 1+\sqrt{2}.$

Answer 2

(2+√3)^x=1/(2-√3)^x
--------------------------------------
(2+√3)^(x²-2x+1+1/(2+√3)^(x²-2x-1)-4(2+√3)
приведем к общему знаменателю
a^(2x²-4x)+1-4*(2+√3)^(x²-x)=0
a^(x²-x)=m
m²-4m+1=0
D=16-4=12
m1=(4-2√3)/2=2-√3=1/(2+√3)⇒(2+√3)^(x²-2x)=-1
x²-2x+1=0⇒(x-1)²=0⇒x-1=0⇒x=1
m2=2+√3⇒(2+√3)^(x²-2x)=2+√3⇒(2+√3)^(x²-2x)=1
x²-2x-1=0
D=4+4=8
x1=(2-2√2)/2=1-√2
x2=1+√2
Ответ x={1-√2;1;1+√2}