Question

Будьте добры,помогите с подробным решением.

Если y(x) - решение уравнения y'=cos2x*y, удовлетворяющее условию y(0) = 1, тогда y(3 пи) равно

Answer 1

Решим данное дифференциальное уравнение:

$y'=cos2x*y \\ \\ \frac{dy}{dx} =cos2x*y \\ \\ \frac{dy}{y} =cos(2x)dx \\ \\ \int\limits {\frac{dy}{y}} \,=\int\limits{ cos(2x)}dx \\ \\ ln|y|= \frac{1}{2} sin2x+C$


Теперь подставим точку y(0)=1, чтобы найти С

$ln1= \frac{1}{2} sin(2*0)+C \\ \\ 0=0+C \\ C=0$

Затем подставляем х=3π и находим у


$ln|y|= \frac{1}{2} sin2x=\frac{1}{2} sin(2*3 \pi )=0 \\ \\ ln|y|=0 \\ y=e^0=1 \\ \\ OTBET: \ y(3 \pi )=1$