Question

Отрезок, проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции и параллельный основаниям, равен 7,5, а отрезок, параллельный данному отрезку и разбивающий данную трапецию на две равновеликие, равен 5√5.
Найдите основания трапеции.

Answer 1

Отрезок, проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции и параллельный основаниям трапеции,  соединяющий две точки на боковых сторонах,делится точкой пересечения пополам, и его длина равна среднему гармоническому оснований трапеции, то есть

$7,5= \frac{2ab}{a+b}$

Длина отрезка, делящего трапецию на две равновеликие, равна среднему квадратичному длин оснований, то есть

$5\sqrt5= \sqrt{ \frac{a^2+b^2}{2} }$

Получили систему двух уравнений с двумя неизвестными:

$\left \{ {{\frac{2ab}{a+b}=7,5} \atop {\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}=5\sqrt5}} \right. \; \; \left \{ {{2ab=\frac{15}{2}(a+b)} \atop {\frac{a^2+b^2}{2}=25\cdot 5}} \right. \; \; \left \{ {{\frac{4}{15}ab=a+b} \atop {a^2+b^2=250}} \right. \; \; \left \{ {{(a+b)^2=\frac{16}{225}(ab)^2} \atop {a^2+b^2=250}} \right. \\\\\\ \left \{ {{a^2+2ab+b^2=\frac{16}{225}(ab)^2} \atop {a^2+b^2=250}} \right. \; \; \left \{ {{250+2ab=\frac{16}{225}(ab)^2} \atop {a^2+b^2=250}} \right. \\\\\frac{16}{225}(ab)^2-2(ab)-250=0$

$t=ab\ \textgreater \ 0\; ,\; \; \frac{16}{225}t^2-2t-250=0\; |\cdot 225 \\\\16t^2-450t-56250=0\\\\D/4=950625=975^2\\\\t_1= \frac{225-975}{16} =-46,875\ \textless \ 0\; \; \; ne\; podxodit\\\\t_2= \frac{225+975}{16}=75\ \textgreater \ 0 \; \; \Rightarrow \; \; \; ab=75\\\\ \left \{ {{ab=75} \atop {\frac{2ab}{a+b}=7,5}} \right. \left \{ {{ab=75} \atop {\frac{150}{a+b}=7,5}} \right. \; \; \left \{ {{yab=75} \atop {a+b=\frac{150}{7,5}}} \right. \; \; \left \{ {{ab=75} \atop {a+b=20}} \right. \; \; \left \{ {{a(20-a)=75} \atop {b=20-a}} \right.$

$a^2-20a+75=0$

По теореме Виета :   $a_1=5\; ,\; \; a_2=15$ .
Тогда   $b_1=15\; ,\; \; b_2=5$ .
Основания трапеции равны 5 и 15 .