Question

Неперервна випадкова величина Х задана щільністю розподілу:
F(X)=cx^2 при хє (0, и -10)
0при х(не належить)(-10, и 0)
Знайти коефіцієнт с; функцію розподілу F(x) випадкової величини Х ; математичне сподівання і дисперсію функції
У=епсилон(Х)=-х+4

Answer 1

$f(x)= \left\{\begin{array}{c}0\; ,\; x\leq -10\\cx^2\; ,\; -10\ \textless \ x\leq 0\\0\; ,\; x\ \textgreater \ 0\end{array}\right \\\\ \int\limits^{+\infty }_{-\infty } \, dx =1\quad \Rightarrow \quad \int \limits _{-10}^0\, cx^2\, dx=c\cdot \frac{x^3}{3}\Big |_{-10}^0=c\cdot (0- \frac{-10^3}{3} )=1\\\\c\cdot \frac{1000}{3}=1\\\\c=\frac{3}{1000}=0,003$

$F(X)=\int \limits _{-\infty }^{x}f(x)\, dx= \int\limits_{-10}^{x} {0,003x^2} \, dx =0,003\cdot \frac{x^3}{3}\Big |_{-10}^{x} =\\\\=0,001\cdot (x^3-(-10)^3)=0,001\cdot (x^3+1000)=0,001x^3+1\\\\F(x)= \left\{\begin{array}{l}0,\qquad \; x\leq -10\\0,001x^3+1\; ,\; -10\ \textless \ x\leq 0\\1\; ,\; \qquad x\ \textgreater \ 0\end{array}\right$

$M(X)= \int\limits^{+\infty }_{-\infty } {x\cdot f(x)} \, dx = \int\limits^0_{-10} {x\cdot 0,003x^2} \, dx =0,003\cdot \frac{x^4}{4}\Big |_{-10}^0=\\\\=0,00075\cdot (0-(-10)^4)=-7,5$

$D(X)= \int\limits^{+\infty }_{-\infty } {x^2f(x)} \, dx -M^2(X)= \int\limits^0_{-10} {x^2\cdot 0,003x^2} \, dx -(-7,5)^2=\\\\=0,003\cdot \frac{x^5}{5}\Big |_{-10}^0-56,25= 0,0006\cdot (0-(-10)^5)-56,25=\\\\=60-56,25=3,75$